Подразумеваемая волатильность: расчет и применение

Подразумеваемая волатильность — это ключевой показатель в торговле опционами, который отражает ожидания рынка относительно будущих колебаний цены базового инструмента. В отличие от исторической волатильности, которая анализирует прошлые движения, подразумеваемая волатильность является перспективным индикатором, помогающим трейдерам оценить справедливую стоимость опциона и принять обоснованные решения.

Финансово-математический показатель

В финансовой математике подразумеваемая волатильность (IV) контракта на опцион — это значение волатильности базового инструмента, которое при подстановке в модель ценообразования опциона (обычно Black-Scholes) дает теоретическую стоимость, равную рыночной цене опциона. Финансовые инструменты, не являющиеся опционами, но содержащие встроенную опциональность, такие как процентный потолок, также могут иметь подразумеваемую волатильность. Подразумеваемая волатильность — это перспективный и субъективный показатель, отличающийся от исторической волатильности, которая рассчитывается на основе известных прошлых доходов ценной бумаги. Подразумеваемая волатильность также используется как предиктор в моделях прогнозирования будущей реализованной волатильности. Для оценки положения подразумеваемой волатильности относительно базового инструмента используется ранг подразумеваемой волатильности, который показывает её значение относительно годовых максимума и минимума.

Мотивация

Модель ценообразования опциона, такая как Black-Scholes, использует различные входные параметры для определения теоретической стоимости опциона. Входные данные варьируются в зависимости от типа оцениваемого опциона и используемой модели. Однако в целом стоимость опциона зависит от оценки будущей реализованной волатильности цены σ базового инструмента. Или математически:

C = f(σ, ·)

где C — теоретическая стоимость опциона, а f — модель ценообразования, которая зависит от σ и других входных параметров.

Функция f монотонно возрастает по σ, что означает, что более высокое значение волатильности приводит к более высокой теоретической стоимости опциона. И наоборот, по теореме об обратной функции существует не более одного значения σ, которое при подстановке в f(σ, ·) даст конкретное значение C.

Иными словами, предположим, что существует обратная функция g = f⁻¹, такая что:

σ_C̄ = g(C̄, ·)

где C̄ — рыночная цена опциона. Значение σ_C̄ — это волатильность, подразумеваемая рыночной ценой C̄, или подразумеваемая волатильность.

В общем случае невозможно дать замкнутую формулу для подразумеваемой волатильности через цену колл-опциона. Однако в некоторых случаях (большой страйк, низкий страйк, короткий срок экспирации, длительный срок экспирации) можно получить асимптотическое разложение подразумеваемой волатильности через цену колл-опциона. Также исследовались альтернативные подходы, основанные на приближенных замкнутых формулах.

Пример

Европейский колл-опцион на одну акцию компании XYZ Corp (XYZ), не выплачивающей дивиденды, со страйком $50 и сроком экспирации 32 дня. Безрисковая ставка составляет 5%. Акции XYZ торгуются по $51,25, а текущая рыночная цена опциона составляет $2,00. Используя стандартную модель Black-Scholes, волатильность, подразумеваемая рыночной ценой, составляет 18,7%, или:

σ_C̄ = g(C̄, ·) = 18,7%

Для проверки применим подразумеваемую волатильность к модели ценообразования f и получим теоретическую стоимость $2,0004:

C_theo = f(σ_C̄, ·) = $2,0004

что подтверждает наш расчет рыночной подразумеваемой волатильности.

Решение обратной функции модели ценообразования

В общем случае функция модели ценообразования f не имеет замкнутого решения для своей обратной функции g. Вместо этого часто используется метод поиска корней для решения уравнения:

f(σ_C̄, ·) − C̄ = 0

Хотя существует множество методов поиска корней, два наиболее часто используемых — это метод Ньютона и метод Брента. Поскольку цены опционов могут меняться очень быстро, при расчете подразумеваемых волатильностей часто важно использовать наиболее эффективный метод.

Метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость, однако требует первой частной производной теоретической стоимости опциона по волатильности, то есть ∂C/∂σ, также известной как вега (см. Греки). Если функция модели ценообразования дает замкнутое решение для веги, что имеет место для модели Black-Scholes, то метод Ньютона может быть более эффективным. Однако для большинства практических моделей ценообразования, таких как биномиальная модель, это не так, и вега должна быть получена численно. При численном расчете веги можно использовать метод Кристофера и Салкина или, для более точного расчета подразумеваемых волатильностей опционов вне денег, модель Коррадо-Миллера.

В частности, для модели Black (Black model) метод Jaeckel «Let’s Be Rational» вычисляет подразумеваемую волатильность с полной машинной точностью (стандартное 64-битное число с плавающей точкой) для всех возможных входных значений за время менее микросекунды. Алгоритм состоит из начального приближения, основанного на согласованных асимптотических разложениях, плюс (всегда ровно) два шага улучшения Хаусхолдера (порядка сходимости 4), что делает это трехшаговой (то есть неитеративной) процедурой. Эталонная реализация на C++ доступна свободно.

Помимо упомянутых выше методов поиска корней, существуют также методы, которые аппроксимируют многомерную обратную функцию напрямую. Часто они основаны на полиномах или рациональных функциях.

Для модели Bachelier (нормальной, в отличие от логнормальной), Jaeckel опубликовал полностью аналитическую и сравнительно простую двухэтапную формулу, которая дает полную машинную точность для всех возможных входных значений.

Параметризация подразумеваемой волатильности

С появлением больших данных и науки о данных параметризация подразумеваемой волатильности приобрела центральное значение для целей согласованной интерполяции и экстраполяции. Классическими моделями являются модели SABR и SVI с их расширением IVP.

Подразумеваемая волатильность как мера относительной стоимости

По словам Брайана Бирна, подразумеваемая волатильность опциона — это более полезная мера относительной стоимости опциона, чем его цена. Причина в том, что цена опциона наиболее прямо зависит от цены его базового актива. Если опцион удерживается как часть дельта-нейтрального портфеля (то есть портфеля, застрахованного от небольших движений цены базового актива), то следующим по важности фактором при определении стоимости опциона будет его подразумеваемая волатильность.

Подразумеваемая волатильность настолько важна, что опционы часто котируются в терминах волатильности, а не цены, особенно среди профессиональных трейдеров.

Пример

Колл-опцион торгуется по $1,50, а базовый актив торгуется по $42,05. Подразумеваемая волатильность опциона определяется как 18,0%. Спустя некоторое время опцион торгуется по $2,10, а базовый актив по $43,34, что дает подразумеваемую волатильность 17,2%. Несмотря на то, что цена опциона выше при втором измерении, он все равно считается дешевле с точки зрения волатильности.

Причина в том, что базовый актив, необходимый для хеджирования колл-опциона, можно продать по более высокой цене.

Волатильность как цена

Еще один способ рассмотрения подразумеваемой волатильности — думать о ней как о цене, а не как о мере будущих движений цены акции.

В этом представлении это просто более удобный способ коммуникации цен опционов, чем использование валюты. Цены отличаются по природе от статистических величин: волатильность будущих доходов базового актива можно оценить, используя любой из множества методов оценки; однако полученное число не является ценой. Цена требует двух контрагентов — покупателя и продавца. Цены определяются спросом и предложением. Статистические оценки зависят от временного ряда и математической структуры используемой модели.

Это ошибка — путать цену, которая подразумевает транзакцию, с результатом статистической оценки, который является просто выходом расчета. Подразумеваемые волатильности — это цены: они получены из фактических транзакций. С этой точки зрения не должно быть удивительным, что подразумеваемые волатильности могут не соответствовать тому, что предсказывает конкретная статистическая модель.

Однако приведенное выше представление игнорирует тот факт, что значения подразумеваемых волатильностей зависят от модели, используемой для их расчета: разные модели, применяемые к одним и тем же рыночным ценам опционов, дадут разные подразумеваемые волатильности. Таким образом, если принять это представление о подразумеваемой волатильности как о цене, то нужно также признать, что не существует единственной подразумеваемой волатильности-цены и что покупатель и продавец в одной и той же транзакции могут торговать по разным «ценам».

Непостоянная подразумеваемая волатильность

В общем случае опционы на один и тот же базовый актив, но с разными страйками и сроками экспирации, дают разные подразумеваемые волатильности. Это можно рассматривать как свидетельство того, что волатильность базового актива не постоянна, а зависит от таких факторов, как уровень цены или время, или как свидетельство того, что изменения цены базового актива не следуют распределению, предполагаемому в рассматриваемой модели (такой как Black-Scholes). Существует несколько известных параметризаций поверхности волатильности (Schonbusher, SVI и gSVI), а также их методологии дезарбитража. Дополнительную информацию см. в разделах о стохастической волатильности и улыбке волатильности.

Инструменты волатильности

Инструменты волатильности — это финансовые инструменты, которые отслеживают стоимость подразумеваемой волатильности других производных ценных бумаг. Например, индекс волатильности CBOE (VIX) рассчитывается как взвешенное среднее подразумеваемых волатильностей различных опционов на индекс S&P 500. Существуют также другие часто упоминаемые индексы волатильности, такие как индекс VXN (мера волатильности фьючерсов индекса Nasdaq 100), QQV (мера волатильности QQQ), IVX — индекс подразумеваемой волатильности (ожидаемая волатильность акций на будущий период для любых ценных бумаг и торгуемых на бирже инструментов США), а также опционы и фьючерсы, основанные непосредственно на самих этих индексах волатильности.

Что такое подразумеваемая волатильность и как её использовать