Модель CEV (постоянная эластичность дисперсии) — это математический инструмент, используемый в финансовой математике для ценообразования активов и моделирования волатильности. Разработанная Джоном Коксом в 1975 году, она позволяет учитывать стохастическую волатильность и эффект рычага, что делает её незаменимой при анализе акций и товаров на финансовых рынках.
Модель постоянной эластичности дисперсии (CEV) — это модель локальной волатильности, разработанная Джоном Коксом в 1975 году для ценообразования финансовых активов. Она учитывает стохастическую волатильность и эффект рычага, широко применяется при моделировании акций и товаров на финансовых рынках.
Модель ценообразования
В математических финансах модель постоянной эластичности дисперсии (CEV) — это модель стохастической волатильности, хотя технически её точнее классифицировать как модель локальной волатильности, которая пытается учесть стохастическую волатильность и эффект рычага. Модель широко используется практиками в финансовой индустрии, особенно при моделировании акций и товаров. Она была разработана Джоном Коксом (John Cox) в 1975 году.
Динамика
Модель CEV представляет собой стохастический процесс, который развивается в соответствии со следующим стохастическим дифференциальным уравнением:
dSt = μSt dt + σStγ dWt
где S — спотовая цена, t — время, μ — параметр, характеризующий дрейф, σ и γ — параметры волатильности, а W — броуновское движение.
Это частный случай общей модели локальной волатильности, записываемой как:
dSt = μSt dt + v(t,St)St dWt
где волатильность доходности цены равна:
v(t,St) = σStγ−1
Постоянные параметры σ и γ удовлетворяют условиям σ ≥ 0 и γ ≥ 0.
Параметр γ контролирует связь между волатильностью и ценой и является центральной особенностью модели. Когда γ < 1, наблюдается эффект, обычно встречающийся на рынках акций, когда волатильность акции растёт по мере падения её цены и увеличения коэффициента рычага. И наоборот, на товарных рынках часто наблюдается γ > 1, при котором волатильность цены товара имеет тенденцию к увеличению по мере роста его цены и снижения коэффициента рычага. Если γ = 1, эта модель становится геометрическим броуновским движением, как в модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes), тогда как если γ = 0 и либо μ = 0, либо дрейф μS заменяется на μ, модель становится арифметическим броуновским движением — моделью, предложенной Луи Башелье (Louis Bachelier) в его докторской диссертации «Теория спекуляции», известной как модель Башелье.
🔑 Ключевые факты
- CEV разработана Джоном Коксом в 1975 году
- Модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением dSt = μSt dt + σStγ dWt
- Параметр γ контролирует связь между волатильностью и ценой активов
- При γ < 1 волатильность растёт при падении цены (эффект рычага на акциях)
- При γ > 1 волатильность растёт при росте цены (характерно для товарных рынков)
- При γ = 1 модель CEV совпадает с моделью Блэка-Шоулза
- При γ = 0 модель становится арифметическим броуновским движением Башелье
Что такое модель CEV и как она работает
❓ Часто задаваемые вопросы
💡 Интересные факты
- Модель CEV объясняет эффект улыбки волатильности (volatility smile) на рынках опционов, когда волатильность зависит от цены страйка
- На рынке акций волатильность обычно растёт при падении цены, что называется эффектом рычага или отрицательной корреляцией между ценой и волатильностью
- Модель CEV может быть использована для анализа поведения цен на сырьевых товарах, где волатильность часто растёт при повышении цен