Греки в финансах: управление рисками опционов

Греки в финансах — это математические показатели, которые измеряют чувствительность цены производных инструментов к изменениям различных параметров рынка. Они являются ключевым инструментом для трейдеров и риск-менеджеров, позволяя оценить потенциальные убытки и прибыль при колебаниях цен активов. Понимание греков необходимо для эффективного управления портфелем опционов и минимизации финансовых рисков.

Параметры модели в математических финансах

В математических финансах греки — это величины (известные в математическом анализе как частные производные первого или более высокого порядка), которые представляют чувствительность цены производного инструмента, такого как опцион, к изменениям одного или нескольких базовых параметров, от которых зависит стоимость инструмента или портфеля финансовых инструментов. Название используется потому, что наиболее распространённые из этих показателей обозначаются греческими буквами (как и некоторые другие финансовые показатели). Вместе их также называют показателями риска, мерами риска или параметрами хеджирования.

Применение греков

Греки — это жизненно важные инструменты управления рисками. Каждый грек измеряет чувствительность стоимости портфеля к небольшому изменению конкретного базового параметра, что позволяет рассматривать отдельные компоненты риска изолированно и перебалансировать портфель для достижения желаемого уровня риска; см., например, дельта—хеджирование.

Греки в модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes) — относительно простой идеализированной модели определённых финансовых рынков — относительно легко вычисляются, что является желательным свойством финансовых моделей, и очень полезны для трейдеров производных инструментов, особенно для тех, кто стремится защитить свои портфели от неблагоприятных изменений рыночных условий. По этой причине те греки, которые особенно полезны для хеджирования — такие как дельта, тета и вега — хорошо определены для измерения изменений параметров спотовой цены, времени и волатильности. Хотя ро (частная производная по отношению к безрисковой процентной ставке) является основным входным параметром модели Блэка-Шоулза, общее влияние на стоимость краткосрочного опциона, соответствующее изменениям безрисковой ставки, обычно незначительно, поэтому производные более высокого порядка, связанные с безрисковой ставкой, встречаются редко.

Наиболее распространённые греки — это производные первого порядка: дельта, вега, тета и ро, а также гамма — производная второго порядка функции стоимости. Остальные показатели чувствительности в этом списке достаточно часто встречаются, чтобы иметь собственные названия, но этот список далеко не полный.

Участники рынка совершают конкурентные сделки с участием многих миллиардов долларов, фунтов или евро базовых активов ежедневно, поэтому важно правильно рассчитать суммы. На практике они используют более сложные модели, которые выходят за рамки упрощающих предположений модели Блэка-Шоулза и, следовательно, греков.

Названия

Использование названий греческих букв, вероятно, произошло по аналогии с распространёнными финансовыми терминами альфа и бета, а также использованием сигма (стандартное отклонение логарифмических доходов) и тау (время до истечения) в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Некоторые названия, такие как «вега» (символ которой похож на строчную греческую букву ню; использование этого названия могло привести к путанице) и «зомма», являются придуманными, но звучат похоже на греческие буквы. Названия «колор» и «чарм», вероятно, происходят из использования этих терминов для экзотических свойств кварков в физике элементарных частиц.

Греки первого порядка

Дельта

Дельта (Δ) измеряет скорость изменения теоретической стоимости опциона в зависимости от изменения цены базового актива. Дельта — это первая производная стоимости V опциона по цене S базового инструмента.

Практическое применение

Для обычного опциона дельта будет числом между 0,0 и 1,0 для длинного колла (или короткого пута) и между 0,0 и −1,0 для длинного пута (или короткого колла); в зависимости от цены опцион колл ведёт себя так, как если бы вы владели 1 акцией базового актива (если глубоко в деньгах) или не владели ничем (если далеко вне денег), или что-то среднее, и наоборот для опциона пут. Разница между дельтой колла и дельтой пута при одинаковой цене исполнения равна единице. По паритету пут-колл длинный колл и короткий пут эквивалентны форварду, который линеен по спотовой цене с единичным коэффициентом, поэтому производная dF/dS равна 1.

Эти числа обычно представляются в виде процента от общего количества акций, представленных контрактом(ами) опциона. Это удобно, потому что опцион будет (мгновенно) вести себя как количество акций, указанное дельтой. Например, если портфель из 100 американских опционов колл на XYZ имеет дельту 0,25 (= 25%) для каждого, он будет расти или падать в стоимости так же, как 2500 акций XYZ при небольших изменениях цены (100 контрактов опционов охватывают 10000 акций). Знак и процент часто опускаются — знак подразумевается типом опциона (отрицательный для пута, положительный для колла), а процент понимается. Наиболее часто цитируемые: 25 дельта пут, 50 дельта пут/50 дельта колл и 25 дельта колл. 50 дельта пут и 50 дельта колл не совсем идентичны из-за различия между спотовой и форвардной ценой на коэффициент дисконтирования, но их часто смешивают.

Дельта всегда положительна для длинных коллов и отрицательна для длинных путов (если только они не равны нулю). Общая дельта сложного портфеля позиций на одном и том же базовом активе может быть рассчитана путём простого суммирования дельт каждой отдельной позиции — дельта портфеля линейна по своим компонентам. Поскольку дельта базового актива всегда равна 1,0, трейдер может дельта-хеджировать всю свою позицию в базовом активе, купив или продав короткую позицию по количеству акций, указанному общей дельтой. Например, если дельта портфеля опционов на XYZ (выраженная в акциях базового актива) составляет +2,75, трейдер может дельта-хеджировать портфель, продав короткую позицию 2,75 акции базового актива. Этот портфель затем сохранит свою общую стоимость независимо от направления движения цены XYZ. (Хотя только для небольших движений базового актива, в течение короткого периода времени и при условии отсутствия изменений в других рыночных условиях, таких как волатильность и доходность безрисковых инвестиций).

Дельта как прокси для вероятности

Абсолютное значение дельты близко, но не идентично проценту монейнесса опциона, то есть подразумеваемой вероятности того, что опцион истечёт в деньгах (если рынок движется под броуновским движением в риск-нейтральной мере). По этой причине некоторые трейдеры опционов используют абсолютное значение дельты как приближение для процента монейнесса. Например, если опцион колл вне денег имеет дельту 0,15, трейдер может оценить, что опцион имеет примерно 15% шанс истечь в деньгах. Аналогично, если контракт пут имеет дельту −0,25, трейдер может ожидать, что опцион имеет 25% вероятность истечь в деньгах. Опционы колл и пут при деньгах имеют дельту примерно 0,5 и −0,5 соответственно с небольшим смещением в сторону более высоких дельт для коллов при деньгах, поскольку безрисковая ставка вводит некоторое смещение в дельту. Отрицательная дисконтированная вероятность того, что опцион закончится в деньгах при истечении, называется двойной дельтой, которая является первой производной цены опциона по цене исполнения.

Связь между дельтой колла и дельтой пута

Для европейского опциона колл и пут на один и тот же базовый актив, цену исполнения и время до истечения, без дивидендной доходности, сумма абсолютных значений дельты каждого опциона будет равна 1 — точнее, дельта колла (положительная) минус дельта пута (отрицательная) равна 1. Это происходит из-за паритета пут-колл: длинный колл плюс короткий пут (колл минус пут) воспроизводит форвард, который имеет дельту, равную 1.

Если известно значение дельты для опциона, можно рассчитать значение дельты опциона с той же ценой исполнения, базовым активом и сроком до истечения, но противоположным правом, вычитая 1 из известной дельты колла или добавляя 1 к известной дельте пута.

Например, если дельта колла равна 0,42, то можно вычислить дельту соответствующего пута при той же цене исполнения как 0,42 − 1 = −0,58. Чтобы получить дельту колла из пута, можно аналогично взять −0,58 и добавить 1, чтобы получить 0,42.

Вега

Вега измеряет чувствительность к волатильности. Вега — это производная стоимости опциона по волатильности базового актива.

Вега не является названием какой-либо греческой буквы. Используемый символ — нестандартный вариант греческой буквы ню (ν), написанный как V. Предположительно название вега было принято потому, что греческая буква ню выглядела как латинская буква V, и вега была образована от V по аналогии с произношением бета, эта и тета в американском английском.

Символ каппа (κ) иногда используется (академиками) вместо веги (как и тау (τ) или заглавная лямбда (Λ), хотя это редко).

Вега обычно выражается как сумма денег за акцию базового актива, которую стоимость опциона получит или потеряет при увеличении или снижении волатильности на 1 процентный пункт. Все опционы (как коллы, так и путы) будут расти в стоимости с увеличением волатильности.

Вега может быть важным греком для мониторинга трейдером опционов, особенно на волатильных рынках, поскольку стоимость некоторых стратегий опционов может быть особенно чувствительна к изменениям волатильности. Стоимость стратегии стрэддл при деньгах, например, чрезвычайно зависит от изменений волатильности.

Тета

Тета (Θ) измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к течению времени (см. Временная стоимость опциона): «временной распад».

По мере течения времени, с уменьшением времени до истечения и при прочих равных условиях, внешняя стоимость опциона уменьшается. Обычно (но см. ниже) это означает, что опцион теряет стоимость со временем, что обычно называется тем, что длинные опционы обычно имеют короткую (отрицательную) тету. На самом деле обычно буквальная первая производная по времени стоимости опциона — это положительное число. Изменение стоимости опциона обычно отрицательно, потому что течение времени — это отрицательное число (уменьшение времени до истечения). Однако по соглашению практики обычно предпочитают называть экспозицию тета (распад) длинного опциона отрицательной (вместо того чтобы называть течение времени отрицательным), поэтому тета обычно сообщается как −1 раз первая производная, как указано выше.

Хотя внешняя стоимость уменьшается со временем, иногда действует противодействующий фактор — дисконтирование. Для глубоко в деньгах опционов некоторых типов (для путов в Блэке-Шоулзе, путов и коллов в модели Блэка), по мере того как коэффициенты дисконтирования приближаются к 1 со временем, это элемент увеличения стоимости длинного опциона. Иногда глубоко в деньгах опционы получат больше от увеличения коэффициентов дисконтирования, чем потеряют от уменьшения внешней стоимости, и сообщённая тета будет положительным значением для длинного опциона вместо более типичного отрицательного значения (и опцион будет кандидатом на досрочное исполнение, если это возможно, и европейский опцион может стать менее ценным, чем паритет).

По соглашению в формулах оценки опционов время до истечения (τ) определяется в годах. Практики обычно предпочитают рассматривать тету с точки зрения изменения количества дней до истечения, а не количества лет до истечения. Поэтому сообщённая тета обычно делится на количество дней в году. (Считать ли календарные дни или рабочие дни, варьируется в зависимости от личного выбора, с аргументами в пользу обоих).

Ро

Ро (ρ) измеряет чувствительность к процентной ставке: это производная стоимости опциона по отношению к безрисковой процентной ставке (для соответствующего периода).

За исключением экстремальных обстоятельств, стоимость опциона менее чувствительна к изменениям безрисковой процентной ставки, чем к изменениям других параметров. По этой причине ро — наименее используемый из греков первого порядка.

Ро обычно выражается как сумма денег за акцию базового актива, которую стоимость опциона получит или потеряет при увеличении или снижении безрисковой процентной ставки на 1,0% годовых (100 базовых пунктов).

Лямбда

Лямбда (λ), омега (Ω) или эластичность — это процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение цены базового актива, мера рычага, иногда называемая передачей.

Справедливо, что λ = Ω = Δ × S/V.

Это похоже на концепцию дельты, но выраженное в процентных терминах, а не в абсолютных.

Эпсилон

Эпсилон (ε) (также известный как пси, ψ) — это процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение дивидендной доходности базового актива, мера дивидендного риска. Влияние дивидендной доходности на практике определяется с использованием 10% увеличения этих доходностей. Очевидно, что эта чувствительность может быть применена только к производным инструментам на основе акций.

Численно все чувствительности первого порядка можно интерпретировать как спреды в ожидаемых доходах. Информационная геометрия предлагает другую (тригонометрическую) интерпретацию.

Греки второго порядка

Гамма

Гамма (Γ) измеряет скорость изменения дельты в зависимости от изменения цены базового актива. Гамма — это вторая производная функции стоимости по цене базового актива.

Большинство длинных опционов имеют положительную гамму, а большинство коротких опционов имеют отрицательную гамму. Длинные опционы имеют положительную связь с гаммой, потому что по мере увеличения цены гамма также увеличивается, заставляя дельту приближаться к 1 с 0 (длинный опцион колл) и к 0 с −1 (длинный опцион пут). Обратное верно для коротких опционов.

Гамма наибольшая примерно при деньгах (ATM) и уменьшается по мере удаления в деньги (ITM) или вне денег (OTM). Гамма важна, потому что она корректирует выпуклость стоимости.

Когда трейдер стремится установить эффективный дельта-хедж для портфеля, он также может стремиться нейтрализовать гамму портфеля, так как это обеспечит, что хедж будет эффективен в более широком диапазоне движений цены базового актива.

Ванна

Ванна, также называемая DvegaDspot и DdeltaDvol, — это производная второго порядка стоимости опциона, один раз по спотовой цене базового актива и один раз по волатильности. Она математически эквивалентна DdeltaDvol, чувствительности дельты опциона к изменению волатильности; или, альтернативно, частной производной веги по цене базового инструмента. Ванна может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании дельта- или вега-хеджированного портфеля, так как ванна поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности дельта-хеджа при изменении волатильности или эффективности вега-хеджа при изменении спотовой цены базового актива.

Чарм

Чарм или распад дельты измеряет мгновенную скорость изменения дельты со течением времени.

Чарм также называли DdeltaDtime. Чарм может быть важным греком для измерения/мониторинга при дельта-хеджировании позиции в выходные дни. Чарм — это производная второго порядка стоимости опциона, один раз по цене и один раз по течению времени. Это также производная тета по отношению к цене базового актива.

Математический результат формулы для чарма выражается в дельта/год. Часто полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить распад дельты в день. Это использование довольно точно, когда количество дней до истечения опциона велико. Когда опцион приближается к истечению, сам чарм может быстро изменяться, делая полные дневные оценки распада дельты неточными.

Вомма

Вомма, волга, выпуклость веги или DvegaDvol измеряет чувствительность второго порядка к волатильности. Вомма — это вторая производная стоимости опциона по волатильности, или, другими словами, вомма измеряет скорость изменения веги при изменении волатильности.

При положительной вомме позиция станет длинной вегой при увеличении подразумеваемой волатильности и короткой вегой при её снижении, что может быть использовано в торговле аналогично длинной гамме. И первоначально вега-нейтральная позиция с длинной воммой может быть построена из соотношений опционов с разными ценами исполнения. Вомма положительна для длинных опционов вне денег и первоначально увеличивается с расстоянием от денег (но снижается по мере снижения веги).

Вета

Вета, распад веги или DvegaDtime измеряет скорость изменения веги со течением времени. Вета — это производная второго порядка функции стоимости; один раз по волатильности и один раз по времени.

Обычная практика — разделить математический результат веты на 100 раз количество дней в году, чтобы привести значение к процентному изменению веги в день.

Вера

Вера (иногда рхова) измеряет скорость изменения ро в зависимости от волатильности. Вера — это производная второго порядка функции стоимости; один раз по волатильности и один раз по процентной ставке.

Слово «Вера» было придумано Р. Нарышкиным в начале 2012 года, когда эта чувствительность потребовалась использовать на практике для оценки влияния изменений волатильности на ро-хеджирование, но в доступной литературе ещё не было названия. «Вера» была выбрана, чтобы звучать похоже на комбинацию Веги и Ро, её соответствующих греков первого порядка. Это название теперь используется более широко, включая, например, программное обеспечение компьютерной алгебры Maple (которое имеет функцию «BlackScholesVera» в своем пакете Finance).

Вторая производная по цене исполнения K

Эта частная производная играет фундаментальную роль в формуле Бридена-Литценбергера (Breeden-Litzenberger), которая использует котируемые цены опционов колл для оценки риск-нейтральных вероятностей, подразумеваемых такими ценами.

Для опционов колл это можно приблизить, используя бесконечно малые портфели стратегий «бабочка».

Греки третьего порядка

Скорость

Скорость измеряет скорость изменения гаммы в зависимости от изменения цены базового актива.

Это также иногда называют гаммой гаммы или DgammaDspot. Скорость — это третья производная функции стоимости по спотовой цене базового актива. Скорость может быть важна для мониторинга при дельта-хеджировании или гамма-хеджировании портфеля.

Зомма

Зомма измеряет скорость изменения гаммы в зависимости от изменения волатильности.

Зомма также называлась DgammaDvol. Зомма — это третья производная стоимости опциона, дважды по цене базового актива и один раз по волатильности. Зомма может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании гамма-хеджированного портфеля, так как зомма поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности хеджа при изменении волатильности.

Колор

Колор, распад гаммы или DgammaDtime измеряет скорость изменения гаммы со течением времени.

Колор — это производная третьего порядка стоимости опциона, дважды по цене базового актива и один раз по времени. Колор может быть важной чувствительностью для мониторинга при поддержании гамма-хеджированного портфеля, так как он может помочь трейдеру предвидеть эффективность хеджа по мере течения времени.

Математический результат формулы для колора выражается в гамма/год. Часто полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить изменение гаммы в день. Это использование довольно точно, когда количество дней до истечения опциона велико. Когда опцион приближается к истечению, сам колор может быстро изменяться, делая полные дневные оценки изменения гаммы неточными.

Ультима

Ультима измеряет чувствительность воммы опциона к изменению волатильности.

Ультима также называлась DvommaDvol. Ультима — это производная третьего порядка стоимости опциона по волатильности.

Пармичарм

Пармичарм измеряет скорость изменения чарма со течением времени.

Пармичарм также называли DcharmDtime. Пармичарм — это производная третьего порядка стоимости опциона, дважды по времени и один раз по цене базового актива. Чтобы лучше поддерживать дельта-хеджированный портфель по мере течения времени, трейдер может хеджировать чарм в дополнение к своей текущей дельта-позиции. Пармичарм может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании такого чарм-хеджированного портфеля, так как пармичарм поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности хеджа по мере течения времени.

Греки для многоактивных опционов

Если стоимость производного инструмента зависит от двух или более базовых активов, его греки расширяются, включая кросс-эффекты между базовыми активами.

Корреляционная дельта измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к изменению корреляции между базовыми активами. Она также обычно известна как цега.

Кросс-гамма измеряет скорость изменения дельты одного базового актива в зависимости от изменения уровня другого базового актива.

Кросс-ванна измеряет скорость изменения веги одного базового актива из-за изменения уровня другого базового актива. Эквивалентно, она измеряет скорость изменения дельты второго базового актива из-за изменения волатильности первого базового актива.

Кросс-волга измеряет скорость изменения веги одного базового актива в зависимости от изменения волатильности другого базового актива.

Формулы для греков европейских опционов

Греки европейских опционов (коллов и путов) в модели Блэка-Шоулза рассчитываются следующим образом, где φ (фи) — функция плотности стандартного нормального распределения, а Φ — функция кумулятивного распределения стандартного нормального распределения. Обратите внимание, что формулы гаммы и веги одинаковы для коллов и путов.

Для заданных:

• Цены акции S
• Цены исполнения K
• Безрисковой ставки r
• Годовой дивидендной доходности q
• Времени до истечения τ = T − t (представленного как безразмерная доля года)
• Волатильности σ

Модель Блэка (Black) (обычно используемая для товаров и опционов на фьючерсы) позволяет рассчитывать греков следующим образом:

Связанные показатели

Ниже перечислены некоторые связанные показатели риска финансовых инструментов.

Дюрация и выпуклость облигаций

При торговле облигациями и другими ценными бумагами с фиксированным доходом различные меры дюрации облигаций используются аналогично дельте опциона. Ближайший аналог дельте — это DV01, который представляет собой снижение цены (в денежных единицах) при увеличении на один базовый пункт (то есть 0,01% годовых) в доходности, где доходность — это базовая переменная; см. Дюрация облигации § Риск — дюрация как чувствительность к процентной ставке. (Связанным является CS01, измеряющий чувствительность к кредитному спреду.)

Аналогично лямбде является модифицированная дюрация, которая представляет собой процентное изменение рыночной цены облигации(й) при единичном изменении доходности (то есть она эквивалентна DV01, делённому на рыночную цену). В отличие от лямбды, которая является эластичностью (процентное изменение выхода на процентное изменение входа), модифицированная дюрация вместо этого является полуэластичностью — процентное изменение выхода на единичное изменение входа.

Выпуклость облигации — это мера чувствительности дюрации к изменениям процентных ставок, вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам (дюрация — первая производная); она аналогична гамме. В целом, чем выше выпуклость, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигации — одна из наиболее базовых и широко используемых форм выпуклости в финансах.

Для облигации со встроенным опционом стандартные расчёты доходности к погашению здесь не учитывают, как изменения процентных ставок будут изменять денежные потоки из-за исполнения опциона. Чтобы решить эту проблему, вводятся эффективная дюрация и эффективная выпуклость. Эти значения обычно рассчитываются с использованием модели на основе дерева, построенной для всей кривой доходности (в отличие от одной доходности к погашению), и, следовательно, фиксирующей поведение исполнения в каждой точке жизни опциона как функции времени и процентных ставок.

Бета

Бета (β) акции или портфеля — это число, описывающее волатильность актива в отношении волатильности эталона, с которым этот актив сравнивается. Этот эталон обычно является общим финансовым рынком и часто оценивается с использованием репрезентативных индексов, таких как S&P 500.

Актив имеет бету нуль, если его доходность изменяется независимо от изменений доходности рынка. Положительная бета означает, что доходность актива обычно следует доходности рынка в том смысле, что обе имеют тенденцию быть выше своих соответствующих средних значений вместе или обе имеют тенденцию быть ниже своих соответствующих средних значений вместе. Отрицательная бета означает, что доходность актива обычно движется противоположно доходности рынка: одна будет иметь тенденцию быть выше своего среднего значения, когда другая ниже своего среднего значения.

Фугит

Фугит — это ожидаемое время исполнения американского или бермудского опциона. Фугит полезно вычисляется в целях хеджирования — например, можно представить потоки американского свопциона как потоки свопа, начинающегося в фугит, умноженные на дельту, а затем использовать их для вычисления других чувствительностей.

Что такое греки в финансах и зачем они нужны