Выпуклость в финансах: определение, формулы, применение

Выпуклость в финансах — это ключевая концепция, описывающая нелинейность в ценообразовании производных инструментов и облигаций. Она отражает, как цена финансового инструмента изменяется не прямолинейно при изменении цены базового актива, а зависит от второй производной функции модели. Понимание выпуклости необходимо для правильной оценки опционов, управления портфелем и оценки рисков.

Концепция в математических финансах

В математических финансах выпуклость относится к нелинейностям в финансовой модели. Другими словами, если цена базового актива изменяется, цена выходного значения меняется не линейно, а зависит от второй производной (или, говоря более свободно, членов более высокого порядка) функции модели. Геометрически модель уже не плоская, а искривленная, и степень этого искривления называется выпуклостью.

Терминология

Строго говоря, выпуклость относится ко второй производной цены выходного значения по отношению к цене входного значения. При оценке производных инструментов это называется Гамма (Γ), одна из греческих букв. На практике наиболее значимым примером является выпуклость облигаций — вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам.

Поскольку вторая производная является первым нелинейным членом и часто наиболее значимым, термин «выпуклость» также используется в более широком смысле для обозначения нелинейностей в целом, включая члены более высокого порядка. Уточнение модели с учетом нелинейностей называется корректировкой на выпуклость.

Математика

Формально корректировка на выпуклость вытекает из неравенства Йенсена в теории вероятностей: математическое ожидание выпуклой функции больше или равно функции от математического ожидания:

E[f(X)] ≥ f(E[X])

Геометрически, если цена модели изгибается вверх с обеих сторон от текущей стоимости (функция выплаты выпукла вверх и находится выше касательной линии в этой точке), то при изменении цены базового актива цена выходного значения будет выше, чем предсказывает модель, использующая только первую производную. И наоборот, если цена модели изгибается вниз (выпуклость отрицательна, функция выплаты находится ниже касательной линии), цена выходного значения будет ниже предсказанной моделью первого порядка.

Точная корректировка на выпуклость зависит от модели будущих движений цены базового актива (распределение вероятностей) и от модели цены, хотя она линейна по отношению к выпуклости (вторая производная функции цены).

Интерпретация

Выпуклость можно использовать для интерпретации оценки производных инструментов: математически выпуклость — это опциональность, то есть цена опциона (стоимость опциональности) соответствует выпуклости базовой выплаты.

При оценке опционов по модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes), если пренебречь процентными ставками и первой производной, уравнение Блэка-Шоулза сводится к соотношению: временная стоимость равна выпуклости. То есть стоимость опциона обусловлена выпуклостью конечной выплаты: у вас есть опцион купить актив или нет (для колла; для пута это опцион продать), и функция конечной выплаты (форма хоккейной клюшки) выпукла — «опциональность» соответствует выпуклости выплаты. Таким образом, если вы покупаете колл-опцион, математическое ожидание стоимости опциона выше, чем просто взять ожидаемую будущую стоимость базового актива и подставить ее в функцию выплаты опциона: математическое ожидание выпуклой функции выше, чем функция от математического ожидания (неравенство Йенсена). Цена опциона — стоимость опциональности — таким образом отражает выпуклость функции выплаты.

Эта стоимость изолируется через стрэддл — покупка стрэддла «при деньгах» (чья стоимость растет, если цена базового актива растет или падает) имеет (изначально) нулевую дельту: вы просто покупаете выпуклость (опциональность), не занимая позицию по базовому активу — вы получаете прибыль от величины движения цены, а не от его направления.

С точки зрения управления рисками, наличие длинной позиции по выпуклости (положительная Гамма и, следовательно, при игнорировании процентных ставок и Дельты, отрицательная Тета) означает, что вы получаете прибыль от волатильности (положительная Гамма), но теряете деньги со временем (отрицательная Тета) — вы получаете чистую прибыль, если цены движутся больше, чем ожидалось, и чистый убыток, если цены движутся меньше, чем ожидалось.

Корректировки на выпуклость

С точки зрения моделирования корректировки на выпуклость возникают каждый раз, когда моделируемые базовые финансовые переменные не являются мартингалом в рамках меры оценки. Применение теоремы Гирсанова позволяет выразить динамику моделируемых финансовых переменных в рамках меры оценки и, таким образом, оценить эту корректировку на выпуклость. Типичные примеры корректировок на выпуклость включают:

• Quanto-опционы: базовый актив номинирован в валюте, отличной от валюты платежа. Если дисконтированный базовый актив является мартингалом в рамках внутренней нейтральной к риску меры, он перестает быть таковым в рамках нейтральной к риску меры валюты платежа
• Инструменты постоянного срока погашения (CMS) — свопы, кэпы/флоры
• Анализ спреда с поправкой на опцион (OAS) для ценных бумаг, обеспеченных ипотекой, или других облигаций с опционом
• Расчет форвардной ставки IBOR из фьючерсов на евродоллары
• Форварды IBOR в рамках модели рынка LIBOR (LMM)

Выпуклость в финансах: основные концепции и применение