Numéraire — это базовый стандарт стоимости в экономике, по которому рассчитываются цены всех остальных активов. В денежной экономике деньги служат numéraire, выступая единицей счёта и общим ориентиром для измерения стоимости товаров и услуг.
Базовый стандарт стоимости в экономике
Numéraire (нумерер) — это базовый стандарт, по которому рассчитывается стоимость. В математической экономике это торгуемый экономический актив, в терминах цены которого выражаются относительные цены всех остальных торгуемых активов. В денежной экономике одна из функций денег состоит в том, чтобы служить numéraire, то есть выступать в качестве единицы счёта и, таким образом, предоставлять общий ориентир, относительно которого можно измерить стоимость различных товаров и услуг.
Использование numéraire, будь то денежный или какой-либо потребительский товар, облегчает сравнение стоимостей, когда имеют значение только относительные цены, как в теории общего равновесия. Когда экономический анализ называет определённый товар numéraire, говорят, что все остальные цены нормализованы по цене этого товара. Например, если единица товара g имеет в два раза большую рыночную стоимость, чем единица numéraire, то (относительная) цена g равна 2. Поскольку стоимость одной единицы numéraire относительно одной единицы самого себя равна 1, цена numéraire всегда равна 1.
Изменение numéraire
На финансовом рынке с торгуемыми ценными бумагами можно использовать numéraire для оценки активов. Например, пусть M(t) — цена в момент времени t одного доллара, инвестированного на денежном рынке в момент времени 0. Фундаментальная теорема ценообразования активов гласит, что все активы S(t), оценённые в терминах numéraire (в данном случае M), являются мартингалами относительно нейтральной к риску меры, скажем Q. То есть:
S(t)/M(t) = E_Q[S(T)/M(T)]
Теперь предположим, что N(t) > 0 — это другой строго положительный торгуемый актив (и, следовательно, мартингал при оценке в терминах денежного рынка). Тогда мы можем определить новую вероятностную меру Q^N через производную Радона — Никодима:
dQ^N/dQ = (M(0)/M(T)) × (N(T)/N(0)) = N(T)/M(T)
Затем можно показать, что S(t) является мартингалом под Q^N при оценке в терминах нового numéraire N(t):
E_{Q^N}[S(T)/N(T)] = E_Q[N(T)/M(T) × S(T)/N(T)] / E_Q[N(T)/M(T)] = (M(t)/N(t)) × E_Q[S(T)/M(T)] = (M(t)/N(t)) × (S(t)/M(t)) = S(t)/N(t)
Этот метод имеет множество важных приложений в моделях рынков LIBOR и свопов, а также на товарных рынках. Джамшидиан (Jamshidian, 1989) впервые применил его в контексте модели Васичека (Vasicek model) для процентных ставок с целью расчёта цен опционов на облигации. Жеман, Эль Каруи и Рошет (Geman, El Karoui и Rochet, 1995) представили общую формальную схему для метода изменения numéraire. Например, в работе Бриго и Меркурио (Brigo и Mercurio, 2001) представлен набор инструментов для изменения numéraire.
Numéraire в финансовом ценообразовании
Определение надлежащего numéraire имеет основание в нескольких моделях финансового ценообразования, таких как опционы и определённые активы. Выбор рискованного актива в качестве numéraire коррелирует с количеством базовых активов для моделирования. Сдвиги базовых активов моделируются следующим образом:
Z_i := X_i / X_0
X = (X_0, X_1, …, X_n) → Z = (1, Z_1, …, Z_n)
где 1 определяет numéraire.
🔑 Ключевые факты
- Numéraire — это торгуемый экономический актив, в терминах цены которого выражаются относительные цены всех остальных активов
- Цена самого numéraire всегда равна 1 по определению
- В денежной экономике деньги служат numéraire и выполняют функцию единицы счёта
- Фундаментальная теорема ценообразования активов гласит, что активы, оценённые в терминах numéraire, являются мартингалами при нейтральной к риску мере
- Метод изменения numéraire применяется в моделях рынков LIBOR, свопов и товарных рынках
- Джамшидиан впервые применил метод изменения numéraire в контексте модели Васичека для расчёта цен опционов на облигации
- Выбор рискованного актива в качестве numéraire влияет на количество базовых активов для моделирования
❓ Часто задаваемые вопросы
💡 Интересные факты
- Термин ‘numéraire’ происходит от французского слова, означающего ‘денежный’ или ‘числовой’, и широко используется в математической экономике и финансовой теории
- Фундаментальная теорема ценообразования активов, применяемая к numéraire, показывает, что все активы при правильной оценке ведут себя как мартингалы — математические объекты с особыми свойствами справедливости
- Метод изменения numéraire позволяет экономистам и финансистам переходить между различными системами оценки, что значительно упрощает сложные расчёты в финансовом анализе