Греки в финансах: дельта, вега, тета, ро, гамма

Греки в финансах — это математические показатели, которые измеряют чувствительность цены опционов и других производных инструментов к изменениям рыночных параметров. Они являются ключевым инструментом для трейдеров и аналитиков, позволяя эффективно управлять рисками и принимать обоснованные инвестиционные решения. Понимание греков необходимо для успешной работы с опционами и хеджирования портфелей.

Параметры модели в математических финансах

В математических финансах греки — это величины (известные в математическом анализе как частные производные; первого или более высокого порядка), которые представляют чувствительность цены производного инструмента, такого как опцион, к изменениям одного или нескольких базовых параметров, от которых зависит стоимость инструмента или портфеля финансовых инструментов. Название используется потому, что наиболее распространённые из этих показателей чувствительности обозначаются греческими буквами (как и некоторые другие финансовые показатели). Вместе они также называются показателями риска, мерами риска или параметрами хеджирования.

Применение греков

Греки — это жизненно важные инструменты управления рисками. Каждый грек измеряет чувствительность стоимости портфеля к небольшому изменению конкретного базового параметра, что позволяет рассматривать отдельные компоненты риска в изоляции и соответственно перебалансировать портфель для достижения желаемого уровня риска; см., например, дельта-хеджирование.

Греки в модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes) (относительно простая идеализированная модель определённых финансовых рынков) относительно легко вычисляются — это желаемое свойство финансовых моделей — и очень полезны для трейдеров производных инструментов, особенно для тех, кто стремится защитить свои портфели от неблагоприятных изменений рыночных условий. По этой причине те греки, которые особенно полезны для хеджирования — такие как дельта, тета и вега — хорошо определены для измерения изменений параметров спотовой цены, времени и волатильности. Хотя ро (частная производная по безрисковой процентной ставке) является основным входным параметром модели Блэка-Шоулза, общее влияние на стоимость краткосрочного опциона, соответствующее изменениям безрисковой процентной ставки, обычно незначительно, поэтому производные более высокого порядка, связанные с безрисковой процентной ставкой, встречаются редко.

Наиболее распространённые греки — это производные первого порядка: дельта, вега, тета и ро; а также гамма, производная второго порядка функции стоимости. Остальные показатели чувствительности в этом списке достаточно распространены, чтобы иметь собственные названия, но этот список далеко не полный.

Участники рынка совершают конкурентные сделки с участием многих миллиардов (долларов, фунтов или евро) базовых активов ежедневно, поэтому важно правильно рассчитать суммы. На практике они используют более сложные модели, которые выходят за рамки упрощающих предположений, используемых в модели Блэка-Шоулза и, следовательно, в греках.

Названия

Использование названий греческих букв предположительно является расширением общепринятых финансовых терминов альфа и бета, а также использования сигма (стандартное отклонение логарифмических доходов) и тау (время до истечения) в модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Некоторые названия, такие как «вега» (символ которой похож на строчную греческую букву ню; использование этого названия могло бы привести к путанице) и «зомма», являются придуманными, но звучат похоже на греческие буквы. Названия «колор» и «чарм» предположительно происходят из использования этих терминов для экзотических свойств кварков в физике элементарных частиц.

Греки первого порядка

Дельта

Дельта (Δ) измеряет скорость изменения теоретической стоимости опциона в зависимости от изменений цены базового актива. Дельта — это первая производная стоимости опциона по цене базового инструмента.

Практическое применение

Для обычного опциона дельта будет числом от 0,0 до 1,0 для длинного колла (или короткого пута) и от 0,0 до −1,0 для длинного пута (или короткого колла); в зависимости от цены опцион колл ведёт себя так, как если бы вы владели 1 акцией базового актива (если глубоко в деньгах), или не владели ничем (если далеко вне денег), или что-то среднее, и наоборот для опциона пут. Разница между дельтой колла и дельтой пута при одном и том же страйке равна единице. По паритету пут-колл длинный колл и короткий пут эквивалентны форварду, который линеен по спотовой цене с единичным коэффициентом, поэтому производная dF/dS равна 1.

Эти числа обычно представляются в виде процента от общего количества акций, представленных контрактом(ами) опциона. Это удобно, потому что опцион будет (мгновенно) вести себя как количество акций, указанное дельтой. Например, если портфель из 100 американских опционов колл на XYZ имеет дельту 0,25 (= 25%), он будет получать или терять стоимость точно так же, как 2500 акций XYZ при изменении цены для небольших движений цены (100 контрактов опционов охватывают 10000 акций). Знак и процент часто опускаются — знак подразумевается типом опциона (отрицательный для пута, положительный для колла), а процент понимается по умолчанию. Наиболее часто котируются 25 дельта пут, 50 дельта пут/50 дельта колл и 25 дельта колл. 50 дельта пут и 50 дельта колл не совсем идентичны, поскольку спот и форвард различаются на коэффициент дисконтирования, но их часто путают.

Дельта всегда положительна для длинных коллов и отрицательна для длинных путов (если они не равны нулю). Общая дельта сложного портфеля позиций по одному и тому же базовому активу может быть рассчитана путём простого суммирования дельт каждой отдельной позиции — дельта портфеля линейна по своим компонентам. Поскольку дельта базового актива всегда равна 1,0, трейдер может дельта-хеджировать всю свою позицию в базовом активе, купив или продав короткую позицию количество акций, указанное общей дельтой. Например, если дельта портфеля опционов на XYZ (выраженная в акциях базового актива) составляет +2,75, трейдер может дельта-хеджировать портфель, продав короткую позицию 2,75 акции базового актива. Этот портфель затем сохранит свою общую стоимость независимо от того, в каком направлении движется цена XYZ. (Хотя это верно только для небольших движений базового актива, в течение короткого времени и при условии отсутствия изменений в других рыночных условиях, таких как волатильность и доходность безрисковых инвестиций).

Дельта как прокси для вероятности

Абсолютное значение дельты близко, но не идентично проценту денежности опциона, то есть подразумеваемой вероятности того, что опцион истечёт в деньгах (если рынок движется согласно броуновскому движению в нейтральной к риску мере). По этой причине некоторые трейдеры опционов используют абсолютное значение дельты как приближение для процента денежности. Например, если опцион колл вне денег имеет дельту 0,15, трейдер может оценить, что опцион имеет примерно 15% шанс истечь в деньгах. Аналогично, если контракт пут имеет дельту −0,25, трейдер может ожидать, что опцион имеет 25% вероятность истечь в деньгах. Опционы колл и пут при деньгах имеют дельту примерно 0,5 и −0,5 соответственно с небольшим смещением в сторону более высоких дельт для опционов колл при деньгах, поскольку безрисковая ставка вводит некоторое смещение в дельту. Отрицательная дисконтированная вероятность того, что опцион окажется в деньгах при истечении, называется двойной дельтой, которая является первой производной цены опциона по страйку.

Связь между дельтой колла и дельтой пута

Для европейского опциона колл и пута на один и тот же базовый актив, цену исполнения и время до погашения, без дивидендной доходности, сумма абсолютных значений дельты каждого опциона будет равна 1 — точнее, дельта колла (положительная) минус дельта пута (отрицательная) равна 1. Это связано с паритетом пут-колл: длинный колл плюс короткий пут (колл минус пут) воспроизводит форвард, который имеет дельту, равную 1.

Если известно значение дельты для опциона, можно рассчитать значение дельты опциона с той же ценой исполнения, базовым активом и сроком погашения, но противоположным правом, вычтя 1 из известной дельты колла или добавив 1 к известной дельте пута.

Например, если дельта колла равна 0,42, то можно вычислить дельту соответствующего пута при той же цене исполнения как 0,42 − 1 = −0,58. Чтобы вывести дельту колла из пута, можно аналогично взять −0,58 и добавить 1, чтобы получить 0,42.

Вега

Вега измеряет чувствительность к волатильности. Вега — это производная стоимости опциона по волатильности базового актива.

Вега — это не название какой-либо греческой буквы. Используемый символ — нестандартный прописной вариант греческой буквы ню, написанный как V. Предположительно название вега было принято потому, что греческая буква ню выглядела как латинская буква V, и вега была образована от V по аналогии с тем, как бета, эта и тета произносятся в американском английском.

Символ каппа иногда используется (академиками) вместо веги (как и тау или заглавная лямбда, хотя это редко).

Вега обычно выражается как сумма денег за акцию базового актива, которую стоимость опциона получит или потеряет при увеличении или снижении волатильности на 1 процентный пункт. Все опционы (как коллы, так и путы) получают стоимость при повышении волатильности.

Вега может быть важным греком для мониторинга трейдером опционов, особенно на волатильных рынках, поскольку стоимость некоторых стратегий опционов может быть особенно чувствительна к изменениям волатильности. Стоимость опциона стрэддл при деньгах, например, чрезвычайно зависит от изменений волатильности.

Тета

Тета (Θ) измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к ходу времени (см. временную стоимость опциона): «распад времени».

По мере прохождения времени, с уменьшением времени до истечения и при прочих равных условиях, внешняя стоимость опциона уменьшается. Как правило (но см. ниже), это означает, что опцион теряет стоимость со временем, что обычно называется длинными опционами, имеющими короткую (отрицательную) тету. На самом деле, как правило, буквальная первая производная по времени стоимости опциона — это положительное число. Изменение стоимости опциона обычно отрицательно, потому что ход времени — это отрицательное число (уменьшение времени до истечения). Однако по соглашению практики обычно предпочитают называть тета-экспозицию («распад») длинного опциона отрицательной (вместо того, чтобы называть ход времени отрицательным), поэтому тета обычно сообщается как −1 раз первая производная, как указано выше.

Хотя внешняя стоимость уменьшается со временем, иногда действует противодействующий фактор — дисконтирование. Для глубоко в деньгах опционов некоторых типов (для путов в Блэке-Шоулзе, путов и коллов в модели Блэка), по мере того как коэффициенты дисконтирования приближаются к 1 с ходом времени, это элемент увеличения стоимости длинного опциона. Иногда глубоко в деньгах опционы получат больше от увеличения коэффициентов дисконтирования, чем потеряют от уменьшения внешней стоимости, и сообщённая тета будет положительным значением для длинного опциона вместо более типичного отрицательного значения (и опцион будет кандидатом на досрочное исполнение, если это возможно, и европейский опцион может стать менее ценным, чем паритет).

По соглашению в формулах оценки опционов время до истечения определяется в годах. Практики обычно предпочитают рассматривать тету с точки зрения изменения количества дней до истечения, а не количества лет до истечения. Поэтому сообщённая тета обычно делится на количество дней в году. (Считать ли календарные дни или рабочие дни, варьируется в зависимости от личного выбора, с аргументами в пользу обоих).

Ро

Ро (ρ) измеряет чувствительность к процентной ставке: это производная стоимости опциона по безрисковой процентной ставке (для соответствующего периода).

За исключением экстремальных обстоятельств, стоимость опциона менее чувствительна к изменениям безрисковой процентной ставки, чем к изменениям других параметров. По этой причине ро — наименее используемый из греков первого порядка.

Ро обычно выражается как сумма денег за акцию базового актива, которую стоимость опциона получит или потеряет при увеличении или снижении безрисковой процентной ставки на 1,0% в год (100 базовых пункта).

Лямбда

Лямбда (λ), омега (Ω) или эластичность — это процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение цены базового актива, мера рычага, иногда называемая передаточным числом.

Справедливо, что λ = Ω = Δ × S/V.

Это похоже на концепцию дельты, но выраженное в процентных терминах, а не в абсолютных.

Эпсилон

Эпсилон (ε) (также известный как пси, ψ) — это процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение дивидендной доходности базового актива, мера дивидендного риска. Влияние дивидендной доходности на практике определяется с использованием 10% увеличения этих доходностей. Очевидно, что эта чувствительность может быть применена только к производным инструментам на основе акций.

Численно все чувствительности первого порядка могут быть интерпретированы как спреды в ожидаемых доходах. Информационная геометрия предлагает другую (тригонометрическую) интерпретацию.

Греки второго порядка

Гамма

Гамма (Γ) измеряет скорость изменения дельты в зависимости от изменений цены базового актива. Гамма — это вторая производная функции стоимости по цене базового актива.

Большинство длинных опционов имеют положительную гамму, а большинство коротких опционов имеют отрицательную гамму. Длинные опционы имеют положительную связь с гаммой, потому что по мере увеличения цены гамма также увеличивается, заставляя дельту приближаться к 1 от 0 (опцион длинного колла) и к 0 от −1 (опцион длинного пута). Обратное верно для коротких опционов.

Гамма наибольшая примерно при деньгах (ATM) и уменьшается чем дальше вы идёте либо в деньги (ITM), либо вне денег (OTM). Гамма важна, потому что она корректирует выпуклость стоимости.

Когда трейдер стремится установить эффективный дельта-хедж для портфеля, трейдер может также стремиться нейтрализовать гамму портфеля, так как это обеспечит, что хедж будет эффективен в более широком диапазоне движений цены базового актива.

Ванна

Ванна, также называемая DvegaDspot и DdeltaDvol, — это производная второго порядка стоимости опциона, один раз по спотовой цене базового актива и один раз по волатильности. Она математически эквивалентна DdeltaDvol, чувствительности дельты опциона к изменению волатильности; или, альтернативно, частной производной веги по цене базового инструмента. Ванна может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании дельта-хеджированного или вега-хеджированного портфеля, так как ванна поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности дельта-хеджа при изменении волатильности или эффективности вега-хеджа при изменении спотовой цены базового актива.

Чарм

Чарм или распад дельты измеряет мгновенную скорость изменения дельты с ходом времени.

Чарм также называли DdeltaDtime. Чарм может быть важным греком для измерения/мониторинга при дельта-хеджировании позиции в выходные дни. Чарм — это производная второго порядка стоимости опциона, один раз по цене и один раз по ходу времени. Это также производная теты по цене базового актива.

Математический результат формулы для чарма выражается в дельта/год. Часто полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить распад дельты в день. Это использование достаточно точно, когда количество дней до истечения опциона велико. Когда опцион приближается к истечению, сам чарм может быстро меняться, делая полные дневные оценки распада дельты неточными.

Вомма

Вомма, волга, выпуклость веги или DvegaDvol измеряет чувствительность второго порядка к волатильности. Вомма — это вторая производная стоимости опциона по волатильности, или, другими словами, вомма измеряет скорость изменения веги при изменении волатильности.

При положительной вомме позиция станет длинной вегой при увеличении подразумеваемой волатильности и короткой вегой при её снижении, что может быть использовано в скальпинге способом, аналогичным длинной гамме. И первоначально вега-нейтральная позиция с длинной воммой может быть построена из соотношений опционов при разных страйках. Вомма положительна для длинных опционов вне денег и первоначально увеличивается с расстоянием от денег (но снижается по мере снижения веги).

Вета

Вета, распад веги или DvegaDtime измеряет скорость изменения веги с ходом времени. Вета — это вторая производная функции стоимости; один раз по волатильности и один раз по времени.

Обычно математический результат веты делится на 100 раз количество дней в году, чтобы свести значение к процентному изменению веги в день.

Вера

Вера (иногда рхова) измеряет скорость изменения ро в зависимости от волатильности. Вера — это вторая производная функции стоимости; один раз по волатильности и один раз по процентной ставке.

Слово «Вера» было придумано Р. Нарышкиным в начале 2012 года, когда эта чувствительность потребовалась использовать на практике для оценки влияния изменений волатильности на ро-хеджирование, но в доступной литературе ещё не было названия. «Вера» была выбрана, чтобы звучать как комбинация Веги и Ро, её соответствующих греков первого порядка. Это название теперь используется более широко, включая, например, программное обеспечение компьютерной алгебры Maple (которое имеет функцию ‘BlackScholesVera’ в своём пакете Finance).

Вторая производная по страйку K

Эта частная производная играет фундаментальную роль в формуле Бридена-Литценберга (Breeden-Litzenberger), которая использует котируемые цены опционов колл для оценки нейтральных к риску вероятностей, подразумеваемых такими ценами.

Для опционов колл это может быть аппроксимировано с использованием бесконечно малых портфелей стратегий бабочка.

Греки третьего порядка

Скорость

Скорость измеряет скорость изменения гаммы в зависимости от изменений цены базового актива.

Это также иногда называют гаммой гаммы или DgammaDspot. Скорость — это третья производная функции стоимости по спотовой цене базового актива. Скорость может быть важна для мониторинга при дельта-хеджировании или гамма-хеджировании портфеля.

Зомма

Зомма измеряет скорость изменения гаммы в зависимости от изменений волатильности.

Зомма также называлась DgammaDvol. Зомма — это третья производная стоимости опциона, дважды по цене базового актива и один раз по волатильности. Зомма может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании гамма-хеджированного портфеля, так как зомма поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности хеджа при изменении волатильности.

Колор

Колор, распад гаммы или DgammaDtime измеряет скорость изменения гаммы с ходом времени.

Колор — это производная третьего порядка стоимости опциона, дважды по цене базового актива и один раз по времени. Колор может быть важной чувствительностью для мониторинга при поддержании гамма-хеджированного портфеля, так как он может помочь трейдеру предвидеть эффективность хеджа по мере прохождения времени.

Математический результат формулы для колора выражается в гамма/год. Часто полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить изменение гаммы в день. Это использование достаточно точно, когда количество дней до истечения опциона велико. Когда опцион приближается к истечению, сам колор может быстро меняться, делая полные дневные оценки изменения гаммы неточными.

Ультима

Ультима измеряет чувствительность воммы опциона к изменению волатильности.

Ультима также называлась DvommaDvol. Ультима — это производная третьего порядка стоимости опциона по волатильности.

Пармичарм

Пармичарм измеряет скорость изменения чарма с ходом времени.

Пармичарм также называли DcharmDtime. Пармичарм — это производная третьего порядка стоимости опциона, дважды по времени и один раз по цене базового актива. Чтобы лучше поддерживать портфель с дельта-хеджем по мере прохождения времени, трейдер может хеджировать чарм в дополнение к своей текущей дельта-позиции. Пармичарм может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании такого чарм-хеджированного портфеля, так как пармичарм поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности хеджа по мере прохождения времени.

Греки для опционов на несколько активов

Если стоимость производного инструмента зависит от двух или более базовых активов, его греки расширяются, чтобы включить кросс-эффекты между базовыми активами.

Корреляционная дельта измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к изменению корреляции между базовыми активами. Она также обычно известна как сега.

Кросс-гамма измеряет скорость изменения дельты одного базового актива к изменению уровня другого базового актива.

Кросс-ванна измеряет скорость изменения веги одного базового актива из-за изменения уровня другого базового актива. Эквивалентно, она измеряет скорость изменения дельты второго базового актива из-за изменения волатильности первого базового актива.

Кросс-волга измеряет скорость изменения веги одного базового актива к изменению волатильности другого базового актива.

Формулы для греков европейских опционов

Греки европейских опционов (коллов и путов) в модели Блэка-Шоулза рассчитываются следующим образом, где φ (фи) — функция плотности вероятности стандартного нормального распределения, а Φ — функция кумулятивного распределения стандартного нормального распределения. Обратите внимание, что формулы для гаммы и веги одинаковы для коллов и путов.

Для заданных:

• Цены акции S
• Цены исполнения K
• Безрисковой ставки r
• Годовой дивидендной доходности q
• Времени до погашения τ = T − t (представленного как безразмерная доля года)
• Волатильности σ

где d₁ и d₂ определяются соответствующими формулами, φ(x) — функция плотности вероятности стандартного нормального распределения, а Φ(x) — функция кумулятивного распределения.

В модели Блэка (Black model) (обычно используется для товаров и опционов на фьючерсы) греки могут быть рассчитаны следующим образом:

где d₁ и d₂ определяются соответствующими формулами для модели Блэка.

Связанные показатели

Некоторые связанные показатели риска финансовых инструментов перечислены ниже.

Дюрация и выпуклость облигаций

При торговле облигациями и другими ценными бумагами с фиксированным доходом различные меры дюрации облигаций используются аналогично дельте опциона. Ближайший аналог дельте — это DV01, который представляет собой снижение цены (в денежных единицах) при увеличении на один базовый пункт (то есть 0,01% в год) доходности, где доходность — это базовая переменная; см. Дюрация облигации § Риск — дюрация как чувствительность к процентной ставке. (Связанным показателем является CS01, измеряющий чувствительность к кредитному спреду.)

Аналогично лямбде является модифицированная дюрация, которая представляет собой процентное изменение рыночной цены облигации(й) при единичном изменении доходности (то есть она эквивалентна DV01, разделённому на рыночную цену). В отличие от лямбды, которая является эластичностью (процентное изменение выхода на процентное изменение входа), модифицированная дюрация вместо этого является полуэластичностью — процентное изменение выхода на единичное изменение входа.

Выпуклость облигации — это мера чувствительности дюрации к изменениям процентных ставок, вторая производная цены облигации по процентным ставкам (дюрация — это первая производная); она тогда аналогична гамме. В целом, чем выше выпуклость, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигации — одна из наиболее базовых и широко используемых форм выпуклости в финансах.

Для облигации со встроенным опционом стандартные расчёты, основанные на доходности к погашению, здесь не учитывают, как изменения процентных ставок будут изменять денежные потоки из-за исполнения опциона. Чтобы решить эту проблему, вводятся эффективная дюрация и эффективная выпуклость. Эти значения обычно рассчитываются с использованием модели на основе дерева, построенной для всей кривой доходности (в отличие от единственной доходности к погашению), и, следовательно, отражающей поведение исполнения в каждой точке жизни опциона как функции как времени, так и процентных ставок.

Бета

Бета (β) акции или портфеля — это число, описывающее волатильность актива в отношении волатильности эталона, с которым этот актив сравнивается. Этот эталон обычно является общим финансовым рынком и часто оценивается с использованием репрезентативных индексов, таких как S&P 500.

Актив имеет бету нуль, если его доходы изменяются независимо от изменений доходов рынка. Положительная бета означает, что доходы актива обычно следуют доходам рынка в том смысле, что они оба имеют тенденцию быть выше своих соответствующих средних значений вместе или оба имеют тенденцию быть ниже своих соответствующих средних значений вместе. Отрицательная бета означает, что доходы актива обычно движутся противоположно доходам рынка: один будет иметь тенденцию быть выше своего среднего значения, когда другой ниже своего среднего значения.

Фугит

Фугит — это ожидаемое время исполнения американского или бермудского опциона. Фугит полезно вычисляется в целях хеджирования — например, можно представить потоки американского свопциона как потоки свопа, начинающегося в фугит, умноженные на дельту, а затем использовать их для вычисления других чувствительностей.

Что такое греки в финансах и как их использовать